Рассмотрим матрицу коэффициентов $a$. Тогда, чтобы получить значение при заданных x,y можно посчитать каждую строку коэффициентами многочлена, подставить аргумент, потом получившиеся значения посчитать коэффициентами другого многочлена и подставить туда другой аргумент.\\
Тогда, давайте рассмотрим многочлен, соответствующий последней строке. Так как старший коэффициент $2^n2^m$, то максимальное значение на отрезке хотя бы $2^n$. Тогда, возьмём это максимальное значение как коэффициент в этой строке. Тогда, раз многочлен с коэффициентами из строк имеет старший коэффициент хотя бы $2^n$, то максимальное значение этого многочлена на отрезке хотя бы 1, чтд.\\
Заметим что если максимум многочлена последней строки это как раз $2^n$, то это домноженный на $2^n$ многочлен Чебышева, тогда максимальное значение он принимает $n+1$ раз. В каждом случае мы должны получать многочлен Чебышева из коэффициентов строк, так что для каждого из многочленов строк мы знаем $n+1$ их значение, что полностью из задаёт, то есть таблица может принимать только один вид, а вид $T_m(x)T_n(x)$ подходит.
