add 2.2;2.3;2.4

2.2.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\documentclass[english, a4paper]{article}
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{pgfpages}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+\author{Мизев Андрей}
+\title{Задача 2.2 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}
+
+\newcounter{picnum}
+\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	Переместим график $P(x)$ вправо или влево так, чтобы в 0 оказалось его место, которое было посередине между $a$ и $b$. Получится график $P(x+\frac{a+b}{2})$. Затем сузим или расширим его так, чтобы то, что в $P(x)$ было между $a$ и $b$ стало между $-1$ и $1$. Будет график $P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})$. Вместе с этим изменим отрезок, на котором берём максимум. В силу производимых изменений, $\max\limits_{x\in [a:b]} |P(x)|=\max\limits_{x\in [-1:1]}|P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})|$. Тогда, перейдём к равносильному неравенству $\max\limits_{x\in [-1:1]}|P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})|\ge \frac{|a_d|}{2^{2d-1}}(b-a)^d$. Если представить $P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})$ как новый многочлен, его старший коэффициент будет $\frac{(b-a)^d}{a_d*2^d}$. Тогда получим унитарный многочлен $Q(x)=P(\frac{2x-a-b}{a+b})*\frac{a_d2^d}{(b-a)^d}$ и равносильное неравенство $\max\limits_{x\in [-1:1]}|Q(x)|\ge \frac{1}{2^{d-1}}$, что доказано в теории к части. Заметим что такой многочлен Q может быть только один, тогда, идя обратными преобразованиями мы получим что многочлен P такой только один и как раз имеет вид, указанный в задаче.\\
+	%$P(x)=\frac{a_d(b-a)^d}{2^{2d-1}}*T(\frac{2x-a-b}{b-a})=
+	%\frac{a_d(b-a)^d}{2^{2d}}*\sum\limits_{k=0}^{\lfloor d/2\rfloor}\frac{d}{d-2k}*C_{d-2k}^{2k}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{d-4k}-\frac{d}{d-2k-1}*C_{d-2k-1}^{2k+1}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{d-4k-2}=\\
+	%\frac{a_d(b-a)^d}{2^{2d}}*\sum\limits_{k=0}^{\lfloor d/2\rfloor}(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{d-4k-2}*(\frac{d}{d-2k}*C_{d-2k}^{2k}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{2}-\frac{d}{d-2k-1}*C_{d-2k-1}^{2k+1})=\\
+	%\frac{a_d}{2^{2d}}*\sum\limits_{k=0}^{\lfloor d/2\rfloor}(x-\frac{a+b}{2})^{d-4k-2}\frac{(b-a)^d}{(b-a)^{d-4k-2}}*(\frac{d}{d-2k}*C_{d}^{2k}*\frac{(d-2k)!^2}{d!(d-4k)!}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{2}-\frac{d}{d-2k-1}*C_{d}^{2k+1}*\frac{(d-4k-2)!}{d!})$
+\end{document}

2.3.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[english, a4paper]{article}
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{pgfpages}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+\author{Мизев Андрей}
+\title{Задача 2.3 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}
+
+\newcounter{picnum}
+\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	Рассмотрим $Q(x)=F_n(x)-T_n(x)$. Это будет многочлен степени n или ниже.
+	График $T_n(x)$ n раз переходит от 1 к -1 и наоборот. В каждом таком переходе будет корень $Q(x)$. Если два перехода имеют такую общую точку, то это корень кратности 2. Тогда, $Q$ имеет хотя бы $n$ корней. В силу степени у $T_n(x)$ нет экстремумов кроме тех, которые в точках $x_k (k<1<n+1)$, так что можно говорить о правой ветви $T_n(x)$ Попутно доказано что $x_{n+1}=1;x_1=-1$.\\
+	Без ограничений общности, будем считать что правая ветвь $T_n(x)$ уходит вверх и рассмотрим ситуацию справа. Если $F_n(1)<T_n(1)$, то чтобы $F_n(x)$ ушёл выше должно быть ещё одно пересечение. Если $F_n(1)=T_n(1)$, $F_n$ вправо уходит выше и влево $F_n$ уходит ниже, то имеется ещё одно пересечение с $T_n$, а если влево уходит выше, то это корень кратности 2. В любом случае, мы получаем хотя бы $n+1$ корень у $Q$, тогда $Q(x)=0$. Ситуация слева обрабатывается аналогично.
+	\\То, что $F_n(x)$ не может быть больше по модулю, но другого знака в каком-то месте можно доказать, повторив вышесказанное для $-F_n(x)$
+\end{document}

2.4.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[english, a4paper]{article}
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{pgfpages}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+\author{Мизев Андрей}
+\title{Задача 2.3 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}
+
+\newcounter{picnum}
+\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	Рассмотрим матрицу коэффициентов $a$. Тогда, чтобы получить значение при заданных x,y можно посчитать каждую строку коэффициентами многочлена, подставить аргумент, потом получившиеся значения посчитать коэффициентами другого многочлена и подставить туда другой аргумент.\\
+	Тогда, давайте рассмотрим многочлен, соответствующий последней строке. Так как старший коэффициент $2^n2^m$, то максимальное значение на отрезке хотя бы $2^n$. Тогда, возьмём это максимальное значение как коэффициент в этой строке. Тогда, раз многочлен с коэффициентами из строк имеет старший коэффициент хотя бы $2^n$, то максимальное значение этого многочлена на отрезке хотя бы 1, чтд.\\
+	Но если в последней строке был другой многочлен
+\end{document}