From f946f76464781b994c166e443f5301a90fca0fdd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: dragonmuffin Date: Mon, 5 Aug 2024 19:54:53 +0300 Subject: [PATCH] add 2.2;2.3;2.4 --- 2.2.tex | 22 ++++++++++++++++++++++ 2.3.tex | 21 +++++++++++++++++++++ 2.4.tex | 20 ++++++++++++++++++++ 3 files changed, 63 insertions(+) create mode 100644 2.2.tex create mode 100644 2.3.tex create mode 100644 2.4.tex diff --git a/2.2.tex b/2.2.tex new file mode 100644 index 0000000..c7736fe --- /dev/null +++ b/2.2.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +\documentclass[english, a4paper]{article} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{pgfpages} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{tabularx} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage[english,russian]{babel} +\author{Мизев Андрей} +\title{Задача 2.2 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>} + +\newcounter{picnum} +\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum} + +\begin{document} + \maketitle + Переместим график $P(x)$ вправо или влево так, чтобы в 0 оказалось его место, которое было посередине между $a$ и $b$. Получится график $P(x+\frac{a+b}{2})$. Затем сузим или расширим его так, чтобы то, что в $P(x)$ было между $a$ и $b$ стало между $-1$ и $1$. Будет график $P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})$. Вместе с этим изменим отрезок, на котором берём максимум. В силу производимых изменений, $\max\limits_{x\in [a:b]} |P(x)|=\max\limits_{x\in [-1:1]}|P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})|$. Тогда, перейдём к равносильному неравенству $\max\limits_{x\in [-1:1]}|P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})|\ge \frac{|a_d|}{2^{2d-1}}(b-a)^d$. Если представить $P(\frac{(b-a)(2x+a+b)}{4})$ как новый многочлен, его старший коэффициент будет $\frac{(b-a)^d}{a_d*2^d}$. Тогда получим унитарный многочлен $Q(x)=P(\frac{2x-a-b}{a+b})*\frac{a_d2^d}{(b-a)^d}$ и равносильное неравенство $\max\limits_{x\in [-1:1]}|Q(x)|\ge \frac{1}{2^{d-1}}$, что доказано в теории к части. Заметим что такой многочлен Q может быть только один, тогда, идя обратными преобразованиями мы получим что многочлен P такой только один и как раз имеет вид, указанный в задаче.\\ + %$P(x)=\frac{a_d(b-a)^d}{2^{2d-1}}*T(\frac{2x-a-b}{b-a})= + %\frac{a_d(b-a)^d}{2^{2d}}*\sum\limits_{k=0}^{\lfloor d/2\rfloor}\frac{d}{d-2k}*C_{d-2k}^{2k}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{d-4k}-\frac{d}{d-2k-1}*C_{d-2k-1}^{2k+1}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{d-4k-2}=\\ + %\frac{a_d(b-a)^d}{2^{2d}}*\sum\limits_{k=0}^{\lfloor d/2\rfloor}(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{d-4k-2}*(\frac{d}{d-2k}*C_{d-2k}^{2k}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{2}-\frac{d}{d-2k-1}*C_{d-2k-1}^{2k+1})=\\ + %\frac{a_d}{2^{2d}}*\sum\limits_{k=0}^{\lfloor d/2\rfloor}(x-\frac{a+b}{2})^{d-4k-2}\frac{(b-a)^d}{(b-a)^{d-4k-2}}*(\frac{d}{d-2k}*C_{d}^{2k}*\frac{(d-2k)!^2}{d!(d-4k)!}*(\frac{4x-2a-2b}{b-a})^{2}-\frac{d}{d-2k-1}*C_{d}^{2k+1}*\frac{(d-4k-2)!}{d!})$ +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/2.3.tex b/2.3.tex new file mode 100644 index 0000000..3b2f7d1 --- /dev/null +++ b/2.3.tex @@ -0,0 +1,21 @@ +\documentclass[english, a4paper]{article} +%\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{pgfpages} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{tabularx} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage[english,russian]{babel} +\author{Мизев Андрей} +\title{Задача 2.3 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>} + +\newcounter{picnum} +\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum} + +\begin{document} + \maketitle + Рассмотрим $Q(x)=F_n(x)-T_n(x)$. Это будет многочлен степени n или ниже. + График $T_n(x)$ n раз переходит от 1 к -1 и наоборот. В каждом таком переходе будет корень $Q(x)$. Если два перехода имеют такую общую точку, то это корень кратности 2. Тогда, $Q$ имеет хотя бы $n$ корней. В силу степени у $T_n(x)$ нет экстремумов кроме тех, которые в точках $x_k (k<1>} + +\newcounter{picnum} +\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum} + +\begin{document} + \maketitle + Рассмотрим матрицу коэффициентов $a$. Тогда, чтобы получить значение при заданных x,y можно посчитать каждую строку коэффициентами многочлена, подставить аргумент, потом получившиеся значения посчитать коэффициентами другого многочлена и подставить туда другой аргумент.\\ + Тогда, давайте рассмотрим многочлен, соответствующий последней строке. Так как старший коэффициент $2^n2^m$, то максимальное значение на отрезке хотя бы $2^n$. Тогда, возьмём это максимальное значение как коэффициент в этой строке. Тогда, раз многочлен с коэффициентами из строк имеет старший коэффициент хотя бы $2^n$, то максимальное значение этого многочлена на отрезке хотя бы 1, чтд.\\ + Но если в последней строке был другой многочлен +\end{document} \ No newline at end of file