lktg_polynoms/2.1.tex

\documentclass[english, a4paper]{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{pgfpages}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[english,russian]{babel}
\author{Мизев Андрей}
\title{Задача 2.1 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}

\newcounter{picnum}
\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum}

\begin{document}
	\maketitle
	Пусть $F_1,F_2$ --- два подходящих многочлена, а $x_1\le x_2\le \ldots\le x_{2n}$ --- точки, в которых они принимают граничные значения кроме первых граничных точек каждого (если оба принимают граничное значение в одной точке, она дублируется). Будем перебирать точки по две в порядке неубывания. Каждому такому шагу соотнесём какое-то пересечение графиков.\\
	Если взятые точки из одного многочлена, то этот многочлен пересечёт второй, т.к. полностью пересекает область значений.\\
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			title = Pic. \showpicnum,
			xlabel = {$x$},
			ylabel = {$y$},
			minor tick num = 10,
			domain = 0:1,
			xmin = 0,
			xmax = 1,
			ymin = 0,
			ymax = 1,
			grid = major
			]
			\addplot[blue, samples = 300] coordinates{(-1,0)(2,1)};
			\addplot[red, samples = 300] coordinates{(0,0.1)(0.1,0)(1,1)};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}\\
	Если взятые точки из разных многочленов и достигают одной и той же границы, то между этими достижениями они пересекутся.\\
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			title = Pic. \showpicnum,
			xlabel = {$x$},
			ylabel = {$y$},
			minor tick num = 10,
			domain = 0:1,
			xmin = 0,
			xmax = 1,
			ymin = 0,
			ymax = 1,
			grid = major
			]
			\addplot[blue, samples = 300] coordinates{(0,0.3)(0.3,0)(1,0.8)};
			\addplot[red, samples = 300] coordinates{(0,0.8)(0.8,0)(1,0.3)};	
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}\\
	Если взятые точки из разных многочленов и достигают разных границ, то нужно взять предыдущую точку $x_k$. Многочлен, к которому относится эта точка пересечёт другой. Граничный случай - когда предыдущая точка та же, что и первая взятая. Но это пересечение мы не могли "забрать" в предыдущем ходу, т.к. ещё не взяли первую взятую на текущем ходу точку.
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			title = Pic. \showpicnum,
			xlabel = {$x$},
			ylabel = {$y$},
			minor tick num = 10,
			domain = 0:1,
			xmin = 0,
			xmax = 1,
			ymin = 0,
			ymax = 1,
			grid = major
			]
			\addplot[blue] coordinates{(0,0.2)(0.5,1)(1,0.8)};
			\addplot[red] coordinates{(0,0.8)(0.8,0)(1,0.2)};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}\\
		\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			title = Pic. \showpicnum,
			xlabel = {$x$},
			ylabel = {$y$},
			minor tick num = 10,
			domain = 0:1,
			xmin = 0,
			xmax = 1,
			ymin = 0,
			ymax = 1,
			grid = major
			]
			\addplot[blue] coordinates{(0,0.2)(0.5,1)(1,0.8)};
			\addplot[red] coordinates{(0,0.8)(0.5,1)(0.8,0)(1,0.2)};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}\\
	Тогда, у двух унитарных многочленов степени $n$ $n$ пересечение, тогда они совпадают.
\end{document}