\documentclass[english, a4paper]{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{pgfpages}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[english,russian]{babel}
\author{Мизев Андрей}
\title{Задача 3.1 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}

\newcounter{picnum}
\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum}

\begin{document}
	\maketitle
	Раз многочлен малоуклоняющийся, то старший коэффициент не превосходит соответствующего коэффициента в многочлене Чебышева: $|a|\le 2$. Пусть $F(x)=ax^2+bx+c$. Раз $|F(0)|\le 1$, то $|c|\le 1$. Раз $|F(1)|\le 1$, то $|a+b+c|\le 1$. Раз $|F(-1)|\le 1$, то $|a-b+c|\le 1$, тогда $|a+c|+|b|\le 1$.\\
	Докажем следующее: при выполнении $|a|\le 2;|c|\le 1;|a+c|+|b|\le 1$ выполняется $a^2+b^2+c^2\le 5$. Для начала, заметим что если $|a|\ne 2$ и $|c|\ne 1$, то можно увеличить большее и уменьшить меньшее до достижения одним из них границы, тогда $|a+c|$ не изменится, так что ни одно неравенство не нарушится, а сумма квадратов увеличится (я считаю то, что при сохранении суммы и увелечении разности сумма квадратов увеличивается, известным фактом). Тогда, разберём 2 случая:\\
	При $a=2$ (случай $a=-2$ аналогичен), $|c|=1$ (т.к. $|a+c|\le1$), тогда $|b|=0$, тогда $a^2+b^2+c^2=5$.\\
	При $c=1$ (случай $c=-1$ аналогичен), $|a|+|b|\le 2$ (раз $|a|$ отличается от $|a+c|$ не более чем на $|c|$). Тогда, $a^2+b^2\le 4$ (пользуюсь тем же известным, как мне кажется, фактом), тогда $a^2+b^2+c^2\le 5$.
\end{document}