\documentclass[english, a4paper]{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{pgfpages}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[english,russian]{babel}
\author{Мизев Андрей}
\title{Задача 1.3 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}
%\date{01.11.2022}


\newcolumntype{b}{X}
\newcolumntype{s}{>{\hsize=.01\hsize}X}

\pagestyle{empty}

\begin{document}
	\maketitle
		\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[
			title = Pic. 1,
			xlabel = {$x$},
			ylabel = {$y$},
			minor tick num = 10,
			domain = -10:10,
			xmin = -10,
			xmax = 10,
			ymin = -10,
			ymax = 10,
			%grid = major
			]
			\addplot[blue, samples = 300]{max(min(0.01*x^3,12),-11)};
			\addplot[red, samples = 300]{max(min(sin(x*100)+x,12),-11)};
			\addplot[gray, samples = 300]{max(min(sin(x*100)+x+4.6,12),-11)};
			\addplot[gray, samples = 300]{max(min(sin(x*100)+x-4.6,12),-11)};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}\\
	Пусть таких точек меньше или какие-то соседние одинакового знака. Тогда, разобьём отрезок $[a:b]$ на $n$ областей, каждая из которых содержит одну или несколько точек одного типа (где тип это то упирается ли точка в верхнюю или нижнюю границу). Далее, возьмём другие n+1 точки: n левых границ областей (с y=0) и точку в первой области - положительную если в первой области точки упираются в нижнюю границу и отрицательную если наоборот. Затем, возьмём многочлен степени n или меньше с данными точками (назовём его $Q$). Так как нулей задано ровно n, больше их быть не может и корнем степени не 1 они быть не могут, тогда каждый из заданных нулей меняет знак функции.\\
	Каждая область примыкала к ровно одной границе. Для каждой области посчитаем минимальное расстояние до другой границы и возьмём минимум ($k$) по всем таким значениям. Затем, разделим $Q$ на такое число, чтобы его максимум на отрезке $[a:b]$ был меньше $k$, получив многочлен $P$. Тогда, прибавим $P$ к $F$, получив другой многочлен $F_1$ степени n. В областях, где многочлен $F$ примыкал к верхней границе, $F_1$ не будет к ней примыкать, ведь мы опустили эту часть, но не станет примыкать к нижней, так как перемещение каждой точки меньше минимального расстояния. Аналогично можно сказать про области, где многочлен примыкал к нижней границе. Тогда, многочлен нигде не примыкает к границам, то есть найден многочлен с меньшей величиной $M$.
\end{document}