\documentclass[english, a4paper]{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{pgfpages}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[english,russian]{babel}
\author{Мизев Андрей}
\title{Задача 2.3 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}

\newcounter{picnum}
\newcommand\showpicnum{\stepcounter{picnum}\thepicnum}

\begin{document}
	\maketitle
	Рассмотрим $Q(x)=F_n(x)-T_n(x)$. Это будет многочлен степени n или ниже.
	График $T_n(x)$ n раз переходит от 1 к -1 и наоборот. В каждом таком переходе будет корень $Q(x)$. Если два перехода имеют такую общую точку, то это корень кратности 2. Тогда, $Q$ имеет хотя бы $n$ корней. В силу степени у $T_n(x)$ нет экстремумов кроме тех, которые в точках $x_k (k<1<n+1)$, так что можно говорить о правой ветви $T_n(x)$ Попутно доказано что $x_{n+1}=1;x_1=-1$.\\
	Без ограничений общности, будем считать что правая ветвь $T_n(x)$ уходит вверх и рассмотрим ситуацию справа. Если $F_n(1)<T_n(1)$, то чтобы $F_n(x)$ ушёл выше должно быть ещё одно пересечение. Если $F_n(1)=T_n(1)$, $F_n$ вправо уходит выше и влево $F_n$ уходит ниже, то имеется ещё одно пересечение с $T_n$, а если влево уходит выше, то это корень кратности 2. В любом случае, мы получаем хотя бы $n+1$ корень у $Q$, тогда $Q(x)=0$. Ситуация слева обрабатывается аналогично.
	\\То, что $F_n(x)$ не может быть больше по модулю, но другого знака в каком-то месте можно доказать, повторив вышесказанное для $-F_n(x)$
\end{document}