\documentclass[english, a4paper]{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{pgfpages}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[english,russian]{babel}
\author{Мизев Андрей}
\title{Задача 1.2 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}
%\date{01.11.2022}


\newcolumntype{b}{X}
\newcolumntype{s}{>{\hsize=.01\hsize}X}

\pagestyle{empty}

\begin{document}
	\maketitle
	$f(x)=ax^2+bx+c$. Тогда $f'(x)=2ax+b$.
	Допустим, $f'(x)>4$ при каком-то x (случай $f'(x)<-4$ обрабатывается аналогично). Тогда либо $f'(-1)>4$, либо $f'(1)>4$, т.к. $f'$ линейна. Без ограничений общности, скажем что $f'(-1)>4$.\\
	Если $f'(0)>=0$, то $f(0)-f(-1)=\int_{-1}^{0}f'(x)dx>\frac{4+0}{2}=2$,что противоречит условию.\\
	Если $f'(0)<0$, то $f'(1)<-4$ в силу линейности функции, тогда $f(1)-f(0)=\int_{0}^{1}f'(x)dx<-\frac{4+0}{2}=-2$, что также приводит к противоречию.
\end{document}