42 lines
3.4 KiB
TeX
42 lines
3.4 KiB
TeX
|
\documentclass[english, a4paper]{article}
|
|||
|
|
%\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|||
|
|
\usepackage{pgfpages}
|
|||
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
|||
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|||
|
|
\usepackage{tabularx}
|
|||
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
|||
|
|
\usepackage[english,russian]{babel}
|
|||
|
|
\author{Мизев Андрей}
|
|||
|
|
\title{Задача 1.3 проекта <<Уклонения многочленов и критические значения>>}
|
|||
|
|
%\date{01.11.2022}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\newcolumntype{b}{X}
|
|||
|
|
\newcolumntype{s}{>{\hsize=.01\hsize}X}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\pagestyle{empty}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\begin{document}
|
|||
|
|
\maketitle
|
|||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|||
|
|
\begin{axis}[
|
|||
|
|
title = Pic. 1,
|
|||
|
|
xlabel = {$x$},
|
|||
|
|
ylabel = {$y$},
|
|||
|
|
minor tick num = 10,
|
|||
|
|
domain = -10:10,
|
|||
|
|
xmin = -10,
|
|||
|
|
xmax = 10,
|
|||
|
|
ymin = -10,
|
|||
|
|
ymax = 10,
|
|||
|
|
%grid = major
|
|||
|
|
]
|
|||
|
|
\addplot[blue, samples = 300]{max(min(0.01*x^3,12),-11)};
|
|||
|
|
\addplot[red, samples = 300]{max(min(sin(x*100)+x,12),-11)};
|
|||
|
|
\addplot[gray, samples = 300]{max(min(sin(x*100)+x+4.6,12),-11)};
|
|||
|
|
\addplot[gray, samples = 300]{max(min(sin(x*100)+x-4.6,12),-11)};
|
|||
|
|
\end{axis}
|
|||
|
|
\end{tikzpicture}\\
|
|||
|
|
Пусть таких точек меньше или какие-то соседние одинакового знака. Тогда, разобьём отрезок $[a:b]$ на $n$ областей, каждая из которых содержит одну или несколько точек одного типа (где тип это то упирается ли точка в верхнюю или нижнюю границу). Далее, возьмём другие n+1 точки: n левых границ областей (с y=0) и точку в первой области - положительную если в первой области точки упираются в нижнюю границу и отрицательную если наоборот. Затем, возьмём многочлен степени n или меньше с данными точками (назовём его $Q$). Так как нулей задано ровно n, больше их быть не может и корнем степени не 1 они быть не могут, тогда каждый из заданных нулей меняет знак функции.\\
|
|||
|
|
Каждая область примыкала к ровно одной границе. Для каждой области посчитаем минимальное расстояние до другой границы и возьмём минимум ($k$) по всем таким значениям. Затем, разделим $Q$ на такое число, чтобы его максимум на отрезке $[a:b]$ был меньше $k$, получив многочлен $P$. Тогда, прибавим $P$ к $F$, получив другой многочлен $F_1$ степени n. В областях, где многочлен $F$ примыкал к верхней границе, $F_1$ не будет к ней примыкать, ведь мы опустили эту часть, но не станет примыкать к нижней, так как перемещение каждой точки меньше минимального расстояния. Аналогично можно сказать про области, где многочлен примыкал к нижней границе. Тогда, многочлен нигде не примыкает к границам, то есть найден многочлен с меньшей величиной $M$.
|
|||
|
|
\end{document}
|